數學(xué)-奇異值

admin2024-06-21  13

有點(diǎn)名詞黨

奇異值的計算通常涉及矩陣的奇異值分解Singular Value Decomposition, SVD。奇異值分解是將一個(gè)矩形矩陣 ( A ) 分解為三個(gè)矩陣的乘積:數學(xué)-奇異值,第1張

[ A = U ΣVT]數學(xué)-奇異值,第2張

其中:數學(xué)-奇異值,第3張

- ( U ) 是一個(gè) ( m ×m ) 的正交矩陣,它的列向量是 ( A AT) 的特征向量。數學(xué)-奇異值,第4張

- ( V ) 是一個(gè) ( n ×n ) 的正交矩陣,它的列向量是 ( ATA ) 的特征向量。數學(xué)-奇異值,第5張

- ( Σ) 是一個(gè) ( m ×n ) 的對角矩陣,對角線(xiàn)上的非負數稱(chēng)為奇異值,其余位置上的元素都是零。數學(xué)-奇異值,第6張

計算奇異值的步驟如下:

1. **計算 ( ATA ) ( A AT)** 對給定的矩陣 ( A ) 計算 ( ATA ) ( A AT)。數學(xué)-奇異值,第7張

2. **計算特征值:** 分別計算 ( ATA ) ( A AT) 的特征值。數學(xué)-奇異值,第8張

3. **計算奇異值:** 奇異值是 ( ATA ) ( A AT) 的特征值的平方根。具體來(lái)說(shuō),( ATA ) 的特征值 ( λ) ( A ) 的奇異值 ( σ) 之間的關(guān)系是 ( σ= λ)。數學(xué)-奇異值,第9張

4. **排序奇異值:** 將計算得到的奇異值按照從大到小的順序排列,這些值就是 ( Σ) 對角線(xiàn)上的元素。數學(xué)-奇異值,第10張

特征值和奇異值是兩個(gè)不同的概念,它們之間的關(guān)系取決于矩陣的結構和大小。
對于一個(gè)方陣(即行數和列數相等的矩陣),其特征值和奇異值是有直接關(guān)系的。在這種情況下,方陣的特征值的平方確實(shí)等于奇異值的平方。這是因為方陣的奇異值分解與其特征值分解是等價(jià)的,奇異值就是特征值的絕對值。
但是,對于一個(gè)長(cháng)方形矩陣(即行數和列數不相等的矩陣),情況就不同了。長(cháng)方形矩陣沒(méi)有特征值(因為它不是方陣,不能被對角化),但可以有奇異值。在這種情況下,奇異值是由矩陣的譜范數(即最大奇異值)和列空間、行空間的幾何關(guān)系決定的,并不直接對應于特征值的平方。
總結來(lái)說(shuō):
- 對于方陣,特征值的絕對值等于奇異值。
- 對于長(cháng)方形矩陣,沒(méi)有特征值,但有奇異值,且奇異值的計算與特征值無(wú)關(guān)。
因此,不能簡(jiǎn)單地說(shuō)特征值是奇異值的平方,這種關(guān)系只適用于方陣,并且是在特征值的絕對值和奇異值之間。對于非方陣,我們必須使用奇異值分解來(lái)計算奇異值。

在實(shí)際應用中,通常使用數值計算軟件(如MATLAB、NumPy)提供的函數來(lái)計算奇異值,因為這些軟件已經(jīng)對奇異值分解算法進(jìn)行了優(yōu)化,能夠高效且準確地計算奇異值。例如,在Python中,可以使用NumPy庫的 `numpy.linalg.svd` 函數來(lái)計算矩陣的奇異值分解。

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